Методика составления и решения прикладных задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Составление дифференциального уравнения по условию за­дачи (механической, физической, химической или технической) состоит в определении математической зависимости между пе­ременными величинами и их приращениями.

В ряде случаев дифференциальное уравнение получается без рассмотрения приращений - за счет их предварительного учета. Например, представляя скорость выражением , мы не привлекаем приращений ∆s и ∆t, хотя они фактически учтены в силу того, что

.

Ускорение в какой-нибудь момент времени t выражается зависимостью:

.

При составлении дифференциальных уравнений приращения сразу же заменяются соответствующими дифференциалами. Изучение любого процесса сводится:

1) к определению его отдельных моментов;

2) к установлению общего закона его хода.

Отдельный момент процесса (т. н. элементарный процесс) выражается уравнением, связывающим переменные величины процесса с их дифференциалами или производными - диффе­ренциальным уравнением; закон общего хода процесса выра­жается уравнением, связывающим переменные величины про­цесса, но уже без дифференциалов этих величии.

Исчерпывающих правил для составления дифференциальных уравнений нет. В большинстве случаев методика решения техни­ческих задач с применением теории обыкновенных дифферен­циальных уравнений сводится к следующему:

1.Подробный разбор условий задачи и составление чертежа, поясняющего ее суть.

2.Составление дифференциального уравнения рассматривае­мого процесса.

3.Интегрирование составленного дифференциального уравне­ния и определение общего решения этого уравнения.

4.Определение частного решения задачи на основании дан­ных начальных условий.

5.Определение, по мере необходимости, вспомогательных пара­
метров (например, коэффициента пропорциональности и др.),
используя для этой цели дополнительные условия задачи.

6. Вывод общего закона рассматриваемого процесса и число­
вое определение искомых величии.

7. Анализ ответа и проверка исходного положения задачи.
Некоторые из этих рекомендаций в зависимости от характера
задачи могут отсутствовать.

Как и при составлении алгебраических уравнений, при реше­нии прикладных задач по дифференциальным уравнениям многое зависит от навыков, приобретаемых упражнением. Однако здесь еще в большей степени требуется изобретательность и глубокое понимание сути изучаемых процессов.

Рассмотрим процесс решения следующих задач:

Задача 3.1.

Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин. падает от 100 0 до 60 0 (рис. 3.1). Температура воздуха равна 25 0 . Через сколько времени от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30 0 ?

Решение:

В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это – процесс неравномерный. С изменением разности температур в течение процесса меняется также и скорость охлаждения тела. Дифференциальное уравнение охлаждения хлеба будет:

где Т – температура хлеба;

t – температура окружающего воздуха (в нашем случае 25 0);

k – коэффициент пропорциональности;

Скорость охлаждения хлеба.

Пусть - время охлаждения.

Тогда, разделяя переменные, получим:

или для условий данной задачи:

Виду того, что

интегрируя, получаем:

Потенцируя обе части последнего равенства, имеем:

то окончательно

Произвольную постоянную С определяем, исходя из начального условия: при мин, Т=100 о.

или С=75.

Величину определяем, исходя из данного дополнительного условия: при мин, Т=60 о.

Получаем:

и .

Таким образом, уравнение охлаждения хлеба при условиях нашей задачи примет вид:

. (2)

Из уравнения (2) легко определяем искомое время при температуре хлеба Т=30 о:

Или.

Окончательно находим:

мин.

Итак, после 1 часа 11 мин. Хлеб охлаждается до температуры 30 о С.

Задача 3.2. Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности k=1,00017. Температура трубы 160о; температура внешнего покрова 30о (рис.8). Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количество теплоты, отдаваемого одним погонным метром трубы.

Решение. Если тело находится в стационарном тепловом состоянии и температура Т в каждой его точке есть функция только одной координаты х, то согласно закону теплопроводности Фурье количество теплоты, испускаемое в секунду.

Дифференциальным называют уравнением, связывающее аргументх , искомую функциюу и ее производныеу ’ ,у ” , ...,у (n ) различных порядков. В общем виде дифференциальное уравнение можно записать:

F (x, y, у ’ ,у ” , ...,у (n) ) = 0 .

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком входящей в него производной.

Примером дифференциального уравнения является второй закон Ньютона, определяющей силу F как произведение массы телаm на приобретенное под действием силы ускорениеа: F = ma .

Учитывая, что ускорение есть первая производная от скорости v, запишем второй закон Ньютона в виде дифференциального уравнения первого порядка:

Или, поскольку ускорение является второй производной от пути S этот закон может представлен в виде дифференциального уравнения второго порядка:

Если известен конкретный характер действующей силы,то, решая уравнение (2), установим вид движения, т.е, найдем, как для данного случая путь зависит от времени: S = f(t).

Решением дифференциального уравнения является такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Пример. Решить уравнение:у ’ - х = 0 (3)

Перепишем исходное уравнение в виде:

(4)

В уравнении (4) выполнено разделение переменных, состоящее в том, что искомая функция и ее дифференциал выносятся в одну часть уравнения, а аргумент и его дифференциал - в другую.

Для получения решения необходимо в уравнении (4) избавиться от дифференциалов, - поэтому произведем интегрирование его левой и правой части:

(5)

При нахождении неопределенных интегралов появляются произвольные постоянные С 1 иС 2 . Их следует объединить в одну постояннуюС . Окончательно:

Формула (6) есть общее решение дифференциального уравнения (3), содержащее столько производных постоянных, каков порядок дифференциального уравнения.

Легко доказать, что функция (6) действительно решение уравнения (3), поскольку ее подстановка в уравнении (3) обращает последнее в тождество.

Произвольная постоянная С может быть определена, если наряду с исходным дифференциальным уравнением заданы некоторые добавочные сведения - их называют начальными условиями.

Например: при х = 0 у = 1. Это начальное условия при подстановке его в общее решение (6) позволяет найти постояннуюС :

1 = 0 + С  С = 1.

Тогда из общего решения (6) для данного начального условия получим частное решение уравнения (3), не содержащее произвольной постоянной:

2. Этапы решения задач при использовании дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения - математический аппарат, который позволяет решать не только чисто математические или физические задачи, но и количественно описывать самые разнообразные процессы (медико-биологические, экономические, социальные и др.). Несмотря на разнообразие рассматриваемых явлений, использование аппарата дифференциальных уравнений для их исследования должно происходить в определенной общей логической последовательности.

2.1. Составление дифференциального уравнения. Этот этап наиболее сложный и ответственный. Здесь необходимо учесть все факторы, которые влияют на течение исследуемого процесса, возможно, сделать некоторые допущения, определить начальные условия. При этом исследователь должен основываться на твердо установленных экспериментальных фактах или логических посылках. Например, при создании математических моделей работы сердца их практическая полезность (получение новых сведений, позволяющих улучшить диагностику сердечно-сосудистых заболеваний и повысить эффективность их лечения) определится полнотой и корректностью математического учета физиологических данных и клинической практики.

2.2. Решение уравнения. Этот этап может считаться более простым, чем первый, поскольку он предполагает выполнение чисто математических операций. Если невозможно получить решение дифференциального уравнения в аналитическом виде, то оно может быть решено расчетным путем с применением современной вычислительной техники.

2.3. Оценка и анализ результата. Получив решение дифференциального уравнения (или системы уравнений), необходимо оценить, какова теоретическая и практическая полезность полученных результатов - установлены ли новые закономерности в протекании, например, физиологических процессов; определено ли количественно влияние выбранных факторов на,например, степень развития и характер патологии и т.п.

Кроме того, следует сопоставить полученные результаты с имеющимися установленными фактами. Если из математического описания физиологического процесса следуют неожиданные и неизвестные ранее сведения, то это может означать: 1) действительно установлено новое явление, которое впоследствии может быть подтверждено экспериментальными исследованиями; 2) полученный результат возник из-за того, что на этапе составления дифференциального уравнения не учтены все необходимые факторы или сделаны слишком грубые допущения.

Все связные (названные) в задачах величины, выражаются через аргумент x, функцию y и её производную: .

1.Принципы составления дифференциальных уравнений.

Для составления и интегрирования дифференциальных уравнений приводят различные задачи физики, биологии, химии и т.д.

Например, при решении задач искомая кривая представляется как график некоторой функции, как y=y(x)

Все связные (названные) в задачах величины, выражаются через аргумент x, функцию y и её производную: .

Полученное при таком условии соотношение и представляет собой дифференциальное уравнение.

Уравнение (1) является искомым уравнением для нахождения неизвестной функции у.

При решении физических задач процесс составления дифф. Уравнения разбивается на 3 этапа:

1)одну из величин выбираем в качестве независимой переменной 2-го в качестве зависимой переменной. Чаще всего в качестве независимой переменной выбираются время t, а в качестве искомых функций пространственные координаты x,y,z.

2)находим на сколько измениться искомая функция Х, если независимая переменная t получит достаточно малое приращение

, то есть пытаемся оценить разность ч/з величины, данные в задачи.

3)делим полученное неравенство на и переходим кlim, когда в результате предельного перехода получаем дифф. Уравнение из которого можно найти искомую функцию.

3 Теорема существования решения задачи Коши дифф ур первого порядка.

Условие (2) называется начальным условием или условиями Коши .(2)

Под задачей Коши будем понимать задачу об отыскании решения уравнения (1) удовлетв.данным (2)

Геометрически это означает, что из всего множества интегральных кривых нужно выделить ту интегральную кривую, которая проходит ч/з .

Естественно встаёт вопрос, есть ли вообще решение у уравнение (1), а если и есть, то сколько таких, удовл.условию (2).

Теорема 1.(теорема существования единственности решения) – если функция f и её частная производная непрерывна в областиD, то решения дифф.уравнения (1), удовлетв.начальным условиям (2) существенно и единственно.

Задачи с дифференциальными уравнениями

Решение : должен предупредить, что здесь опять возникают «накладки» с обозначениями, и я буду придерживаться собственной версии оформления, которая показалась мне наиболее удобной. Сначала рассмотрим некоторую конкретную точку , принадлежащую искомой линии, и соответствующую касательную. Выполним схематический чертёж. Из условия задачи следует, что точка пересечения касательной с осью лежит строго между точек и . Это принципиальный момент ! – так бывает далеко не всегда. И, конечно, нужно постараться, чтобы отрезок был примерно в 2 раза длиннее отрезка :

Первое, что приходит в голову – это найти длины отрезков и составить уравнение по формуле . Так решать можно,… но лучше не нужно. Вспоминаем школу: треугольники и подобны по двум углам (обозначены красными и зелёными дугами) , а значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:

Грубо говоря, нижний треугольник в 2 раза больше, чем верхний.

В чём фишка? Фишка состоит в том, что длины отрезков найти значительно проще! Тем более, точки уже известны, и по существу, осталось найти «иксовую» координату точки . Находим:

Энтузиасты могут прорешать эту, более простую задачу по трафарету. И, конечно, в ней тоже не надо находить длины отрезков и – намного выгоднее снова рассмотреть подобные треугольники (которые расположены один над другим и так оказалось, что вообще равны) . Интересно, что в ходе решения опять появятся два диффура, из которых потребуется выбрать «правильный».

Для самостоятельного решения также предлагаю ещё одно задание:

Задача 5

Найти линию, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что в любой её точке нормальный вектор с концом на оси имеет длину, равную , и отрезок образует острый угол с положительным направлением оси .

Систематизируем схему решения:

1) Во избежание неразберихи с «иксом» и «игреком» рассматриваем некоторую конкретную точку , принадлежащую искомой прямой. Вообще говоря, можно сразу работать с произвольной точкой , но тогда «глобальные» переменные придётся обозначить как-нибудь по-другому, например, через .

2) Составляем уравнение нормали , проходящей через точку .

3) Находим координаты точки пересечения нормали с осью ординат.

4) Находим длину вектора . А вот здесь уже без корня обойтись трудно.

5) Теперь переходим к рассмотрению произвольной точки , т.е. выполняем замены . Этот шаг можно выполнить и чуть раньше (до нахождения длины вектора).

6) Составляем и решаем дифференциальное уравнение. В ходе решения используем информацию о том, что отрезок образует острый угол с положительным направлением оси .

Однако здесь существует и более короткое решение, которым поделилась одна из читательниц сайта. В своё время (когда создавалась статья) из моего поле зрения выпала эта элементарная возможность, и поэтому в конце урока я, конечно же, добавил 2-й способ. Постарайтесь его увидеть! И спасибо за ваши письма – они действительно помогают улучшить учебные материалы.

Я не сторонник различного рода справочников, но для решения практических задач могут пригодиться следующие готовые формулы:


Длина отрезка касательной:
Подкасательная:
Длина отрезка нормали:
Поднормаль:

Но всё же старайтесь их выводить по ходу решения той или иной задачи.

Поскольку сайт посвящен математике, то бОльшую часть урока заняла математика =), но, разумеется, я не могу обойти стороной многочисленные прикладные задачи, которые рассматриваются даже в школе. Их часто (и может быть даже корректнее) называют задачами, которые ПРИВОДЯТ к понятию дифференциального уравнения . Отличительной особенностью этих задач (как правило) является тот факт, что условие опирается на сам СМЫСЛ производной , то есть речь в нём идёт о скорости изменения некоторого показателя.

Физика, химия,… да чего тут занудничать – биология:

Задача 6

Требуется составить дифференциальное уравнение динамики развития некоторого биологического вида и найти решение этого уравнения.

Состояние популяции можно охарактеризовать массой этой популяции (весом всего стада), причем масса является функцией времени . Считая, что скорость роста биомассы пропорциональна биомассе популяции с коэффициентом пропорциональности , найти массу стада в момент времени , если известно её значение при .

…надо сказать, автор задачи не стал мучить студентов-зоотехников и расписал всё подробнейшим образом. Давайте, тем не менее, остановимся на характерных признаках, позволяющих определить, что тут замешано дифференциальное уравнение:

– во-первых, нам явно придётся отыскать функцию массы стада, зависящую от времени;

– и, во-вторых, в условии прямо сказано о скорости роста этой самой массы.

А за скорость роста у нас отвечает производная функция , в данном случае функция

На самом деле решение очень простое и напоминает оно 1-ю задачу урока. По условию, скорость изменения массы стада пропорциональна этой массе:

В большинстве практических задач коэффициент пропорциональности равен константе, но вот здесь он представляет собой функцию: . Впрочем, это не имеет особого значения:

Разделяем и властвуем:

Общее решение:

По условию, в момент времени биомасса составляет . Решим задачу Коши:

Таким образом, закон изменения массы популяции:

Шустрая, однако, популяция – прямо какое-то стадо кроликов… или даже саранчи. …Хотя в задаче ничего не сказано о размерности величин. И поэтому, кстати, здесь будет корректно говорить о единицах времени и единицах массы .

Найдём то, что требовалось найти:
– масса стада в момент времени

Ответ :

…Наверное, вы ждёте - не дождетесь задач по физике…. Спешу обнадёжить вас принципом «антиРабиновича»: Дождётесь! =) Но перед этим примем йаду таблеточку:

Задача 7

Таблетка массой 0,5 г брошена в стакан воды. Скорость растворения таблетки пропорциональна массе таблетки. Через какое время растворится 99% вещества, если известно, что через 10 минут растворилось 80%?

Это очень простая… и не простая задача;) Постарайтесь самым тщательным образом разобраться в решении , задач в подобном техническом исполнении намного больше стакана – их пруд пруди. И кто позабыл – свойства степеней и логарифмов в помощь.

К сожалению, нельзя объять необъятное, и около 10 готовых задач по физике я загрузил в библиотеку, в основном, там задачи по механике. Физика не является моим профильным предметом, но вроде получилось неплохо….

Уравнения с разделяющимися переменными

Понятие дифференциального уравнения

Уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у=f (x), а также ее производные у", у"", и т.д. называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Общий вид дифференциального уравнения:

F (x, y, y", y"",…, y (n)) = 0,(29)

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Например, у"+ху-5=0 – уравнение первого порядка, у""+6у"+х=0 – уравнение второго порядка.

Общий вид уравнения первого порядка:

F (x, y, y") = 0 , (30)

Общим решением дифференциального уравнения называется функция, удовлетворяющая двум условиям: во-первых, эта функция должна удовлетворять данному дифференциальному уравнению, т.е. при подстановке в уравнение должна обращать его в тождество; во-вторых, количество произвольных постоянных в этой функции должно быть равным порядку данного уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения n- го порядка имеет вид:

у = f (x, C 1 , C 2, ….,C n) , (31)

а общее решение дифференциального уравнения I порядка

у = f (x, C) , (32)

Из общего решения путем вычисления постоянных интегрирования, исходя из заданных дополнительных условий, можно найти частные решения данного уравнения.

Дифференциальными уравнениями описывают различные процессы в физике, химии, биологии, фармации.

Из уравнений первого порядка рассмотрим уравнения с разделяющимися переменными .

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид у"= (х,у), причем его правая часть может быть представлена в виде произведения двух отдельных функций: . Тогда

Преобразуем это уравнение, разделив переменные справа и слева:

Общий вид уравнения с разделенными переменными

f (y)dy= (x)dx .

Уравнение решается непосредственным интегрированием: слева по переменной у и справа по переменной х С :

или F (y)=Ф (х)+С.

Решая это уравнение, находим:

Таким образом, алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными следующий:

а) если уравнение содержит производную, то представить ее в виде ;

б) преобразовать уравнение, перенося все члены его, содержащие у , в левую часть, содержащие х – в правую;

в) проинтегрировать по общим правилам левую часть по аргументу у и правую – по аргументу х с прибавлением постоянной интегрирования С.

г) решая полученное уравнение, найти искомую функцию.

Пример16. Найти общее решение уравнения y"=2xy и частное решение, соответствующее условию

y=2 при x=0 , (33)

Решение. Представим производную y" в виде отношения дифференциалов:

Разделим переменные:

Проинтегрируем полученное уравнение:

ln y=x +C .

Так как в уравнение входит lny , то постоянную удобнее выразить в виде логарифма:

lny=х +lnC

lny- lnС=x

ln =х

Потенцируя это равенство, получим:

Отсюда , и для общего решения имеем

у=Се , (34)

Для нахождения частного решения подставим начальное условие (33) в (34):

Т.е. С=2 и искомое частное решение будет иметь вид

Задача о скорости размножения бактерий. Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий, в течение трех часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени.

Решение. Пусть N – количество бактерий в момент времени t. Тогда согласно условию

где k - коэффициент пропорциональности. Уравнение (36) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными и его решение имеет вид:

Из начального условия известно, что . Следовательно,

Из дополнительного условия . Тогда

Таким образом, для искомой функции получаем:

Задача об увеличении количества фермента. В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его начальному количеству x. Первоначальное количество фермента а в течение часа удвоилось. Найти зависимость x(t).

Решение. По условию задачи дифференциальное уравнение процесса имеет вид

где k – коэффициент пропорциональности. Общее решение уравнения (39) (уравнение с разделяющимися переменными) имеет вид:

Постоянную С найдем из начального условия :

Известно также, что . Значит

Отсюда и окончательно имеем

3. Цель деятельности студентов на занятии:

Студент должен знать:

1. Определения производной и дифференциала функции.

2. Физический и геометрический смыслы производной.

3. Таблицу производных основных элементарных функций.

4. Правила дифференцирования.

5. Аналитический и геометрический смыслы дифференциала.

6. Понятия неопределенного и определенного интегралов.

7. Таблицу основных интегралов.

8. Основные свойства неопределенного и определенного интегралов.

9. Основные методы интегрирования.

10. Определение обыкновенного дифференциального уравнения.

11. Понятие общего и частного решений дифференциального уравнения.

12. Определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и алгоритм его решения.

Студент должен уметь:

1.Вычислять производные и дифференциалы функций.

2.Применять дифференциал функции в приближенных вычислениях.

3.Вычислять неопределенные и определенные интегралы различными методами.

4.Вычислять средние значения функций, площади плоских фигур, работу переменной силы.

5.Находить решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Теоретическая часть:

1. Задачи, приводящие к понятию производной функции.

2. Геометрический и физический смыслы производной.

3.Производная сложной функции.

4.Дифференциал функции. Геометрический и аналитический смыслы дифференциала.

5.Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях.

6.Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

7.Основные методы интегрирования.

8.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

9.Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.

10.Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, вычисление средних значений функций, вычисление работы переменной силы.

11.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Практическая часть:

1.Найдите производные и дифференциалы функций:

2)y= ; 5) у=arccosx ;

3) y=e 3x+1 ; 6) y= ;

2.Решите задачу:

Определить ускорение точки в указанные моменты времени, если скорость точки, движущейся прямолинейно, задается уравнениями:

а) V = t 2 + 2 t, t = 3 c ; б) V = 4 sin , t = .

3. Вычислите приращение функции, соответствующее изменению аргумента от х 1 до х 2 :

1) у = 2 х 3 - 4х; х 1 = 1; х 2 = 1, 02 ;

2) у = 3 х 2 - 2х; х 1 = 2; х 2 = 2 ,001 ;

4.Найдите интегралы, используя метод разложения:

2) ; 4) ;

5.Найдите интегралы методом замены переменной:

6. Найдите интегралы методом интегрирования по частям:

7. Вычислите определенные интегралы методом замены переменной:

8.Вычислите определенные интегралы методом интегрирования по частям:

9. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

1) у=х 2 и у= х 3 .

2) и у=х.

10. Найдите средние значения функций:

1) у=соsх на отрезке .

2) на отрезке .

11. Вычислите работу переменной силы:

1) при перемещении материальной точки вдоль оси абсцисс из положения с абсциссой в положение с абсциссой

3) при условии: ;

4) при условии: .

5.Перечень вопросов для проверки исходного уровня знаний:

1. Дайте определение производной функции.

2. Сформулируйте основные правила дифференцирования.

3. Запишите формулу производной сложной функции.

4.В чем заключаются физический и геометрический смыслы производной функции?

5. Что называется дифференциалом функции?

6. В чем заключается геометрический смысл дифференциала функции?

7.Дайте определение первообразной функции.

8.Приведите основные свойства неопределенного интеграла.

9.Запишите формулу интегрирования по частям.

10.Дайте геометрическую интерпретацию определенного интеграла.

11.Запишите формулу Ньютона-Лейбница

12.Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения.

13.Чем отличаются частное и общее решения дифференциального уравнения?

6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:

1. В чем состоит физический смысл производной второго порядка?

2. В чем заключается аналитический смысл дифференциала?

3. Как используется дифференциал для вычисления погрешностей?

4.Какие две основные задачи, связанные с физическим и геометрическим истолкованием производной, решаются с помощью интегрирования?

5.Как проверить правильность нахождения неопределенного интеграла?

6.Можно ли результат вычисления определенного интеграла проверить дифференцированием?

7.На чем основано применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур?

9.Приведите последовательность решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

7. Хронокарта учебного занятия:

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Разбор темы – 30 мин.

3.Решение примеров и задач-60 мин.

4. Текущий контроль знаний -35 мин.

5. Подведение итогов занятия – 5 мин.

8. Перечень учебной литературы к занятию:

1. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М., «Медицина», 2004, §§ 2.1-2.7, 2.10-2.16, 5.1-5.4, 6.1-6.7, 7.1, 7.2.

2.Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики. М., «ГЭОТАР-Медиа», 2006, §§2.1, 2.2, 4.1, 4.2, 5.1-5.6, 6.1-6.3.