Соотношение неопределённостей. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

При разгоне (ускорении) электрона работа сил электрического поля идёт на увеличение его кинетической энергии. Для условий эксперимента получаем

Подстановка числовых значений даёт

Следовательно, при U = 400 В в описываемых экспериментах имеем для электрона значение длины волны де Бройля равное = 6,2 10 -11 м .

Такое же значение для длины волны дал и расчёт по формуле Вульфа-Брэгга, основанной на волновой теории.

Гипотеза Луи де Бройля о наличии у частиц волновых свойств получила своё экспериментальное подтверждение.

Вроде бы можно успокоиться и заняться чем-либо другим. Однако вопрос, поднятый де Бройлем , был слишком фундаментальным и нужны были более наглядные подтверждения. Поэтому экспериментаторы продолжили свою работу.

Следует отметить, что одновременно и независимо от Дэвидсона этими вопросами занимался профессор Абердинского университета Джордж П.Томсон (сын знаменитого Джозефа Джона Томсона , открывшего электрон), который и добился успеха первым.

На рис. 3 приведены первые фотографии с двумя дифракционными картинами при разных напряжениях на катодной трубке. Видно, что увеличение напряжения (левый снимок), приводящее к увеличению энергии электронов, приводит и к более чёткой картине с большим числом колец.

Многократно повторив свои эксперименты с различными образцами фольги, Джордж П.Томсон пришёл к выводу:

Несколько послеДж.П.Томсона аналогичные результаты были получены П.С.Тартаковским , а затем и другими физиками, которые также смогли зафиксировать дифракционные кольца, возникающие при прохождении пучка электронов через тонкие слои металла.

Советский физик Иосив Мандельштам с сотрудниками пошёл ещё дальше, он сумел экспериментально показать, что де Бройлевские волны могут интерферировать между собой.

Затем был показано, что волновые свойства обнаруживают нейтроны, протоны и даже молекулы водорода.

Дифракция электронов (электронография ) применяется сейчас при исследовании структуры поверхности, например, при изучении коррозии, при адсорбции газов на поверхностях.

Дифракция нейтронов (нейтронография ) является мощным средством изучения структур, в особенности органических кристаллов, содержащих водород, что невозможно сделать с использованием рентгеновского излучения.

Появились и новая отрасль науки - электронная оптика , давшая миру новый прибор - электронный микроскоп , без которого в настоящее время немыслимы многие исследования. При ускоряющих напряжениях от 50 до 100кВ разрешающая способность электронных микроскопов приближается к 20 .

Но всё это было позже, а первопроходцы

Соотношение неопределённости Гейзенберга

Доказанное одновременное наличие у микрочастиц и корпускулярных и волновых свойств приводило к невозможности применения к ним законов классической механики.

В макромире можно однозначно определить в любой момент времени импульс и координату движущего тела или материальной точки; можно рассчитать и траекторию их движения.

В микромире из-за наличия волновых свойств одновременные значения координат и скорости (импульса) не существуют: если известна скорость (импульс), то местоположение частицы (её координаты) не имеют определённого значения - понятие длина волны в конкретной точке не имеет смысла . То же самое и наоборот.

Налицо парадокс, который впервые был сформулирован немецким физиком Вернером Гейзенбергом в виде так называемого
принципа неопределённости :

Разделив выражение (4) на массу m частицы, получим другую форму записи принципа неопределённости:

Сказанное выше хорошо иллюстрируется несколькими примерами, с которыми можно познакомиться здесь.

Если выразить p х через энергию ( p х = Е/ v x), то учитывая, что х/ v х = t, получаем соотношение неопределённостей для энергииE и времениt :

Здесь tпредставляет собой время, в течение которого микрочастица обладает энергией .

Например, атом на самом низком энергетическом уровне может пребывать сколь угодно долго (), поэтому энергия этого состояния вполне определена: Е = 0.

В более высоком энергетическом состояни и атом пребывает очень недолго. Если это время равно t, то энергия атома в этом состоянии может быть определена с точностью до и будет равна . При переходе атома с более высокого уровня на более низкий энергетический уровень с энергией Е" он излучает фотон с энергией

Таким образом, энергия излучённого фотона может быть известна только с точностью до Е. Величина же Е определяется временем t жизни атома в возбуждённом состоянии.

На основании выражения (7) можно утверждать, что частота излучённого кванта (фотона) имеет неопределённость , равную = Е / h, то есть линии в спектре будут иметь частоту, равную Е / h.

Уравнение Шредингера

В классической механике движение любой материальной точки однозначно описывается уравнением Исаака Ньютона (второй закон Ньютона ), которое в движении вдоль оси ОХ (одномерный случай) имеет вид

В квантовой механике необходим учёт волновых свойств частиц. Поэтому вместо формулы (8) должно быть использовано другое уравнение. Такое уравнение в 1926 году было записано Эрнестом Шредингером и носит его имя.

Чтобы уравнение, описывающее движения микрочастицы, учитывало её волновые свойства , это уравнение должно быть волновым . Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, волновое уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных . Независимыми переменными в нём являются координата и время.

В случае электромагнитной волны имеем

Для описания движения микрочастицы введём функцию = (x, y, z, t) , связанную с длиной волны де Бройля (смысл этой функции рассмотрим ниже). В этих обозначениях получим

Возьмём вторую частную производную уравнения (11) по времени, то есть продифференцируем его два раза по t

Поскольку v/ = , то можем записать ( /v) 2 =1/() 2 . Теперь, зная, что длина волны де Бройля = h/(mv), получим

С учётом (14) и (15) из (13) получаем

Здесь - оператор Лапласа. Применение его к пси-функции даёт - лаплассиан .

В общем случае волновое уравнение является функцией двух видов переменных. Как уже говорилось, уравнение Шредингера в виде (16) и (17) не зависит от времени и записано для стационарного случая, при котором волновая функция не зависит от времени: в уравнении (16) = (x) , а в уравнении (17) = (x, y, z) .

При учёте времени как ещё одной переменной, = (x, y, z, t) и уравнение Шредингера принимает вид

Во-первых , оно справедливо лишь при малых (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростях движения частицы, когда
v<< c.

Во-вторых , уравнение Шредингера не описывает процессы, происходящие с изменением числа взаимодействующих частиц, их рождением или аннигиляцией, и не учитывает внутренних степеней свободы частиц, таких, например, как спин.

Релятивистский вариант этого уравнения (когда v c.) был получен Полем Дираком (здесь мы его не рассматриваем).

Записанные выше (16) и (17) стационарные варианты уравнения Шредингера получаются из временн го уравнения (18) при не учёте фактора времени.

Уравнение Шредингера записано для частицы, движущейся в поле, характеризуемом потенциальной энергией U . При решении этого уравнения надо задать вид потенциального поля и закон изменения U . Из решения этого уравнения следует закон квантования энергии для частиц, совпадающий с правилами, введёнными Бором при разработке теории атома водорода. Однако здесь он получается естественным путём , как результат решения, а не искусственно постулируетс я, как у Бора.

Приведённые в этом разделе рассуждения не претендуют на вывод уравнения Шредингера. По сути, уравнение (18) постулируется, а об его справедливости судят, сравнивая следствия из этого уравнения с результатами экспериментов.

Именно благодаря экспериментальным свидетельствам и можно с уверенностью утверждать, что уравнение Шредингера успешно описывает поведение микрообъектов в нерелятивистском приближении.

Допустим, что имеется столь слабый поток частиц, что сквозь щель проходит один электрон за другим через большой промежуток времени. Уравнение Шредингера не позволяет точно предсказать, в какое именно место экрана попадёт конкретный электрон. Это уравнение даёт только вероятность распределения частиц по экрану после прохождения щели. Однако, если эксперимент продолжать достаточно долго, так, чтобы на экран попало большое количество частиц, возникает обычная дифракционная картина.

Следовательно, теория предсказывает только статистический результат , то есть то, что произойдёт в среднем, за большой промежуток времени.

Волновая функция

Попробуем теперь разобраться, что представляет собой введённая в предыдущем параграфе волновая функция = (x, y, z, t) ,.

Для этого рассмотрим в общем виде плоскую волну, которая распространяется в направлении нормали On (см. рис.4). Колебания в плоскости волнового фронта волны АВ запишем в комплексном виде

где 0 - амплитуда, - частота, t - время. Через некоторое время фронт волны переместится и займёт положение A"B" .

Обнаружение волновых свойств микрочастиц означает, что классическая механика не может дать правильного описания поведения микрообъектов. Новая физическая теория, устанавливающая законы движения и взаимодействия микрочастиц и фотонов с учетом их волновых и корпускулярных свойств, была разработана, главным образом, тремя физиками: Э. Шредингером (австр.), В. Гейзенбергом (нем.) и П. Дираком (англ.) в начале ХХ века и получила название волновой или квантовой механики.

В классической механике всякая частица движется по определённой траектории, так что ее координаты и импульс могут быть точно рассчитаны для любого момента времени. Совсем по иному обстоит дело, если рассматривается вопрос о локализации волнового процесса, т.е. о месте нахождения волны в данный момент времени. Ведь волна не имеет ни определенной траектории, ни определенной координаты. Т.о. возникает необходимость внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

Эти ограничения сформулированы Гейзенбергом и получили название соотношений неопределенностей. Основное из них гласит: чем точнее определены какие-либо из координат частицы, тем больше неопределенность в значении составляющей импульса (или скорости) в том же направлении, и наоборот. Количественно это записывается так:

Δx ·Δp x ≥ ђ Δx ·Δυ x ≥ ђ/m,

Δy ·Δp y ≥ ђ Δy ·Δυ y ≥ ђ/m, (3)

Δz ·Δp z ≥ ђ Δz ·Δυ z ≥ ђ/m,

где Δx , Δy , Δz – неопределенности координат; Δp x , Δp y , Δp z – неопределенности проекций импульса на оси – x , y , z ; Δυ x , Δυ y , Δυ z – неопределенности проекций скоростей на соответствующие оси; m – масса микрочастицы; ђ = h/2π – постоянная Планка с крышечкой.

Из соотношения неопределенностей следует: если положение частицы точно известно (Δ x =0), то в этом состоянии проекция импульса на ось х-ов совершенно не определена (Δp х → ∞) , и наоборот.

Покажем, что соотношение неопределенностей действительно вытекает из волновых свойств микрочастиц. Рассмотрим мысленный опыт по дифракции потока электронов на щели шириной Δx ~ λ, расположенной перпендикулярно к направлению движения частиц (рис. 3).

До прохождения через щель p х = 0; ∆p х = 0, а координатаx не определена, т.е. ∆x → ∞. В момент прохождения через щель координата электрона имеет неопределенность ∆x равную ширине щели. В то же время, из-за дифракции, электроны отклоняются от первоначального направления и будут двигаться в пределах угла 2φ, где φ – угол дифракции. Теперь появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль осиx -ов:

∆p х = p∙sinφ = h sinφ /λ Б. (4)

Если даже ограничиться электронами, попадающими на экран в пределах центрального максимума, то sinφ найдем из условия 1-ого минимума на щели (bsinφ = kλ, где b – ширина щели, k – порядок минимума):

∆x ∙sinφ = λ Б. (5)

Подставляя выражение для sinφ в (4), после преобразования получим

Δx ·Δp x = h (6)

Учитывая главные max более высоких порядков, куда тоже попадают электроны, окончательно будем иметь:

Δx ·Δp x ≥ h ≥ ђ (7)

Следует подчеркнуть, что невозможность одновременного и точного определения координаты и соответствующей составляющей импульса не связана с несовершенством наших знаний или неточностью приборов, а является следствием специфических и вместе с тем объективных свойств микрообъектов.

Проиллюстрируем оценку границ применимости теории на примерах.

Скорость движения электрона в электроннолучевой трубке составляет υ х = 10 6 м/с и определена с точностью до Δυ х = 10 2 м/с. Тогда неопределенность координаты:

Δx ·Δυ x ≥ ђ/m,
.

Т.е. в данном случае можно говорить о точке падения каждого отдельного электрона на экран и о траектории.

Скорость движения электрона в атоме водорода υ х ~ 10 6 м/с, неопределенность координаты порядка диаметра атома Δx = d ~ 10 -10 м. Тогда неопределенность величины скорости

Т.е. неопределенность скорости соизмерима с самой скоростью. Это означает, что электрон не может теперь рассматриваться как дискретная частица.

Соотношение неопределенностей может быть записано для любой пары взаимосвязанных характеристик состояния микрочастиц, например, для энергии и времени пребывания в этом энергетическом состоянии:

ΔЕ·Δt ≥ ђ. (8)

Из данного соотношения видно, что разброс энергии ΔЕ = ђ/Δt возрастает с уменьшением среднего времени пребывания системы в состоянии с энергией Е. Отсюда, следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность:

Δv = ΔЕ / h, (9)

т.е. линии спектра, обусловленные переходом электронов между уровнями Е 1 и Е 2 с ΔЕ = Е 1 – Е 2 , будут иметь размытие по частоте равное Δv= v 0 ± ΔЕ / h, что подтверждается опытом.

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ

Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением рассеянных частиц по разным направлениям. С точки зрения волновой теории это означает, что направлениям максимумов соответствует наибольшая интенсивность волн де Бройля, а минимумам – наименьшая. Т.е. интенсивность волны де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц, попавших в эту точку. Т.о. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической закономерности. Это означает, что описание поведения микрочастиц должно носить вероятностный характер, что и является важнейшей отличительной особенностью квантовой механики от классической.

Состояние микрочастиц в квантовой механике описывается с помощью, так называемой, волновой функции вида ψ = f(x,y,z ,t). Ее называют еще ψ-функция. Квадрат модуля ψ-функции определяет вероятность обнаружения частицы в момент времени t в области с координатами:x иx + dx ;y иy + dy ;z иz + dz – т.е. в элементе объема dV = dx dy dz :

dW = | ψ | 2 dV. (10)

Величина | ψ | 2 = dW /dV – имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестностях точки с координатами x,y,z . Т.о. физический смысл имеет не сама ψ-функция, а квадрат её модуля – |ψ| 2 , которым и задается интенсивность волн де Бройля. Теперь вероятность найти частицу в момент времени t в объеме V будет:

. (11)

Очевидно, что объективность существования частицы во времени и в пространстве будет выражаться вероятностью достоверного события:

. (12)

Это соотношение является условием нормировки ψ- функции.

Волновая функция позволяет рассчитать вероятность реализации тех или иных значений параметров микрообъекта или их средние величины, например, расстояние электрона от ядра атома или вероятность перехода электрона с одного энергетического уровня на другой, что в свою очередь позволяет оценить относительную интенсивность спектральных линий.

Что бы ψ-функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы она должна удовлетворять следующим условиям: быть 1) конечной, т.к. W ≤ 1; 2) однозначной, т.к. вероятность не может быть неоднозначной; 3) непрерывной, т.к. вероятность не может изменяться скачком.

Соотношения неопределённостей
Uncertainty relations

Соотношения неопределённостей – фундаментальные соотношения квантовой механики, устанавливающие предел точности одновременного определения так называемых дополнительных физических величин, характеризующих систему (например, координаты и импульса). В упрощённой формулировке эти соотношения утверждают, что дополнительные физические величины не могут быть одновременно точно определены. Неопределённостей соотношения являются следствием двойственной, корпускулярно-волновой природы частиц материи, отражением вероятностной (статистической) сути квантовой механики.
Неопределённостей соотношения имеют вид неравенств, например, ΔxΔp > ћ = h/2π, где Δx – неопределённость координаты (частицы или системы), Δp – неопределённость её импульса, а h = 6.6·10 -34 Дж. с = 4.1·10 -15 эВ. с - постоянная Планка. Отсюда видно, что произведение неопределённостей координаты и импульса не может быть меньше ћ, и никаким усовершенствованием методов наблюдения нельзя преодолеть этот рубеж. Увеличение точности определения координаты неизбежно ведёт к потере точности определения импульса. Предельная точность одновременного определения координаты и импульса даётся соотношением Δx·Δp ≈ ћ.
Другая важная пара дополнительных физических величин – энергия Е и время t. Соотношение неопределённостей для них имеет вид ΔЕ·Δt > ћ. Это соотношение для релятивистских системы или частиц (двигающихся со скоростью близкой к скорости света с) может быть получено из соотношения неопределённостей для координаты и импульса простым преобразованием: Δx/с·Δpс = ΔtΔЕ > ћ. Полученное соотношение для времени и энергии можно трактовать следующим образом. Для того, чтобы определить энергию частицы (системы) с точностью ΔЕ, необходимо проводить измерения в течение промежутка времени Δt > ћ/ΔЕ. Следствием этого соотношения является возможность виртуальных (ненаблюдаемых) процессов, лежащих в основе механизма взаимодействия частиц в квантовой теории поля. Две частицы взаимодействуют, обмениваясь с нарушением баланса энергии на величину ΔЕ виртуальным (ненаблюдаемым) переносчиком взаимодействия, существующим в течение времени Δt < ћ/ΔЕ.
Другая трактовка соотношения ΔЕΔt ≈ ћ связана с понятием времени жизни нестабильного (распадающегося состояния системы или частицы). Так, если квантовая система в дискретном энергетическом состоянии живёт в среднем время τ ≈ Δt, то энергетическая ширина уровня Г даётся соотношением Г ≈ ΔЕ ≈ ћ/Δt ≈ ћ/τ.
В силу крайней малости константы Планка ћ, соотношения неопределённостей не играют практически никакой роли для макроскопических тел.