Расчет вероятности объединения (логической суммы) событий. Как рассчитать вероятность события в ставках

Для вычисления вероятности Р А события А необходимо построить математическую модель изучаемого объекта, которая содержит событие А. Основой модели является вероятностное пространство (,?,Р), где - пространство элементарных событий, ? - класс событий с введенными над ними операциями композиции,

Вероятность любого события А, имеющего смысл в и входящего в класс событий? 25. Если, например,

то из аксиомы 3, вероятностей, следует, что

Таким образом, вычисление вероятности события А, сведено к вычислению вероятностей элементарных событий, его составляющих, а так как они являются «базовыми», то методы их вычисления не обязаны зависить от аксиоматики теории вероятностей.

Здесь рассмотрены три подхода к вычислению вероятностей элементарных событий:

классический;

геометрический;

статистический или частотный.

Классический метод вычисления вероятностей

Из аксиоматического определения вероятности следует, что вероятность существует для любого события А, но как ее вычислить, об этом ничего не говорится, хотя известно, что для каждого элементарного события i существует вероятность рi, такая, что сумма вероятностей всех элементарных событий пространства равна единице, то есть

На использовании этого факта основан классический метод вычисления вероятностей случайных событий, который в силу своей специфичности, дает способ нахождения вероятностей этих событий непосредственно из аксиом.

Пусть дано фиксированное вероятностное пространство (,?,Р), в котором:

• а) состоит из конечного числа n элементарных событий,
• б) каждому элементарному событию i поставлена в соответствие вероятность

Рассмотрим событие А, которое состоит из m элементарных событий:

тогда из аксиомы 3 вероятностей, в силу несовместности элементарных событий, следует, что

Тем самым имеем формулу

которую можно интерпретировать следующим образом: вероятность событию А произойти равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих появлению событию А, к числу всех элементарных событий из.

В этом суть классического метода вычисления вероятностей событий.

Замечание. Приписав одинаковую вероятность каждому из элементарных событий пространства, мы, с одной стороны, имея вероятностное пространство и опираясь на аксиомы теории вероятностей, получили правило вычисления вероятностей любых случайных событий из пространства по формуле (2), с другой стороны, это дает нам основание считать все элементарные события равновозможными и вычисление вероятностей любых случайных событий из свести к «урновой» схеме независимо от аксиом.

Из формулы (2) следует, что вероятность события А зависит только от числа элементарных событий, из которых оно состоит и не зависит от их конкретного содержания. Таким образом, чтобы воспользоваться формулой (2), необходимо найти число точек пространства и число точек, из которых состоит событие А, но тогда это уже задача комбинаторного анализа.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 8. В урне из n шаров - k красных и (n - k) черных. Наудачу извлекаем без возвращения r шаров. Какова вероятность того, что в выборке из r шаров s шаров - красных?

Решение. Пусть событие {А} {в выборке из r шаров s - красных}. Искомая вероятность находится по классической схеме, формула (2):

где - число возможных выборок объема r, которые различаются хотя бы одним номером шара, а m - число выборок объема r, в которых s шаров красных. Для, очевидно, число возможных вариантов выборки равно, а m, как следует из примера 7, равно

Таким образом, искомая вероятность равна

Пусть дан набор попарно несовместных событий As,

образующих полную группу, тогда

В этом случае говорят, что имеем распределение вероятностей событий As.

Распределения вероятностей является одним из фундаментальных понятий современной теории вероятностей и составляет основу аксиомами Колмагорова.

Определение. Распределение вероятностей

определяется гипергеометрическое распределение.

Боровков А.А. в своей книге на примере формулы (3) поясняет природу задач теории вероятностей и математической статистики следующим образом: зная состав генеральной совокупности, мы с помощью гипергеометрического распределения можем выяснить, каким может быть состав выборки - это типичная задача теории вероятностей (прямая задача). В естественных науках решают обратную задачу: по составу выборок, определяют природу генеральных совокупностей - это обратная задача, и она, образно говоря, составляет содержание математической статистики.

Обобщением биномиальных коэффициентов (сочетаний) являются полиномиальные коэффициенты, которые своим названием обязаны разложению полинома вида

по степеням слагаемых.

Полиномиальные коэффициенты (4) часто применяются при решении комбинаторных задач.

Теорема. Пусть имеется k различных ящиков, по которым раскладываются пронумерованные шары. Тогда число размещений шаров по ящикам так, чтобы в ящике с номером r находилось ri шаров,

определяется полиномиальными коэффициентами (4).

Доказательство. Поскольку порядок расположения ящиков важен, а шаров в ящиках - не важен, то для подсчета размещений шаров в любом ящике можно воспользоваться сочетаниями.

В первом ящике r1 шаров из n можно выбрать способами, во втором ящике r2 шаров, из оставшихся (n - r1) можно выбрать способами и так далее, в (k - 1) ящик rk-1 шаров выбираем

способами; в ящик k - оставшиеся

шаров попадают автоматически, одним способом.

Таким образом, всего размещений будет

Пример. По n ящикам случайно распределяются n шаров. Считая, что ящики и шары различимы, найти вероятности следующих событий:

• а) все ящики не пустые = А0;
• б) один ящик пуст = А1;
• в) два ящика пустых = А2;
• г) три ящика пустых = А3;
• д) (n-1) - ящик пуст = А4.

Решить задачу для случая n = 5.

Решение. Из условия следует, что распределение шаров по ящикам есть простой случайный выбор, следовательно, всех вариантов nn.

Эта последовательность означает, что в первом, втором и третьем ящиках по три шара, в четвертом и пятом по два шара, в остальных (n - 5) ящиках по одному шару. Всего таких размещений шаров по ящикам будет

Так как шары на самом деле различимы, то на каждую такую комбинацию будем иметь

размещений шаров. Таким образом, всего вариантов будет

Переходим к решению по пунктам примера:

а) так как в каждом ящике находится по одному шару, то имеем последовательность 111…11, для которой число размещений равно n!/ n! = 1. Если шары различимы, то имеем n!/ 1! размещений, следовательно, всего вариантов m = 1n!= n!, отсюда

б) если один ящик пуст, то какой-то ящик содержит два шара, тогда имеем последовательность 211…10, для которой число размещений равно n! (n-2)!. Так как шары различимы, то для каждой такой комбинации имеем n!/ 2! размещений. Всего вариантов

в) если два ящика пусты, то имеем две последовательности: 311…100 и 221…100. Для первой число размещений равно

n!/ (2! (n - 3)!).

На каждую такую комбинацию имеем n!/ 3! размещений шаров. Итак, для первой последовательности, число вариантов равно

Для второй последовательности всего вариантов будет

Окончательно имеем

г) для трех пустых ящиков будет три последовательности: 411…1000, либо 3211…1000, либо 22211…1000.

Для первой последовательности имеем

Для второй последовательности

Для третьей последовательности получаем

Всего вариантов

m = k1 + k2 + k3,

Искомая вероятность равна

д) если (n -1) ящик пуст, то все шары должны находиться в одном из ящиков. Очевидно, что число комбинаций равно

Соответствующая этому событию вероятность равна

При n = 5, имеем

Заметим, что при n = 5 события Аi должны образовывать полную группу, что соответствует действительности. В самом деле

Можно ли выиграть в лотерею? Какие шансы угадать нужное количество чисел и получить джекпот или приз младшей категории? Вероятность выигрыша легко просчитывается, любой желающий может сделать это самостоятельно.

Как вообще считается вероятность выигрыша в лотерею?

Числовые лотереи проводятся по определенным формулам и шансы каждого события (выигрыша той или иной категории) рассчитываются математически. Причем эта вероятность вычисляется для любого нужного значения, будь то «5 из 36», «6 из 45», или «7 из 49» и она не меняется, так как зависит только от общего количества чисел (шаров, номеров) и того, сколько из них надо угадать.

Например, для лотереи «5 из 36» вероятности всегда следующие

• угадать два числа — 1: 8
• угадать три числа — 1: 81
• угадать четыре числа — 1: 2 432
• угадать пять чисел — 1: 376 992

Другими словами — если отметить в билете одну комбинацию (5 номеров), то шанс угадать «двойку» всего 1 из 8. А вот «пять» номеров поймать гораздо сложнее, это уже 1 шанс из 376 992. Именно такое (376 тысяч) количество всевозможных комбинаций существует в лотерее «5 из 36» и гарантированно в ней выиграть можно, если только заполнить их все. Правда, сумма выигрыша в этом случае не оправдает вложений: если билет стоит 80 рублей, то отметить все комбинации будет стоить 30 159 360 рублей. Джекпот обычно намного меньше.

В общем, все вероятности давно известны, всего и остается, что их найти или рассчитать самостоятельно, при помощи соответствующих формул.

Для тех, кому искать лень, приведем вероятности выигрыша для основных числовых лотерей Столото — они представлены в этой таблице

Необходимые пояснения

Лото-виджет позволяет рассчитывать вероятности выигрыша для лотерей с одним лототроном (без бонусных шаров) или с двумя лототронами. Также можно просчитать вероятности развернутых ставок

Расчет вероятности для лотерей с одним лототроном (без бонусных шаров)

Используются только первые два поля, в которых числовая формула лотереи, например: — «5 из 36», «6 из 45», «7 из 49». В принципе, можно просчитать почти любую мировую лотерею. Есть только два ограничения: первое значение не должно превышать 30, а второе — 99.

Если в лотерее не используются дополнительные номера*, то после выбора числовой формулы остается нажать кнопку рассчитать и результат готов. Не важно, вероятность какого события вы хотите узнать – выигрыш джекпота, приз второй/третьей категории или просто выяснить, сложно ли угадать 2-3 номера из нужного количества – результат высчитывается почти моментально!

Пример расчета. Вероятность угадать 5 из 36 составляет 1 шанс из 376 992

Примеры. Вероятности выигрыша главного приза для лотерей:
«5 из 36» (Гослото, Россия) – 1:376 922
«6 из 45» (Гослото, Россия; Saturday Lotto, Австралия; Lotto, Австрия) — 1:8 145 060
«6 из 49» (Спортлото, Россия; La Primitiva, Испания; Lotto 6/49, Канада) — 1:13 983 816
«6 из 52» (Super Loto, Украина; Illinois Lotto, США; Mega TOTO, Малазия) — 1:20 358 520
«7 из 49» (Гослото, Россия; Lotto Max, Канада) — 1:85 900 584

Лотереи с двумя лототронами (+ бонусный шар)

Если в лотерее используется два лототрона, то для расчета необходимо заполнить все 4 поля. В первых двух – числовая формула лотереи (5 из 36, 6 из 45 и тд), в третьем и четвертом поле отмечается количество бонусных шаров (x из n). Важно: данный расчет можно использовать только для лотерей с двумя лототронами. Если бонусный шар достается из основного лототрона, то вероятность выигрыша именно этой категории считается по-другому.

* Так как при использовании двух лототронов шанс выигрыша высчитывается перемножением вероятностей друг на друга, то для корректного расчета лотерей с одним лототроном выбор дополнительного номера по умолчанию стоит как 1 из 1, то есть не учитывается .

Примеры. Вероятности выигрыша главного приза для лотерей:
«5 из 36 + 1 из 4» (Гослото, Россия) – 1:1 507 978
«4 из 20 + 4 из 20» (Гослото, Россия) – 1:23 474 025
«6 из 42 + 1 из 10» (Megalot, Украина) – 1:52 457 860
«5 из 50 + 2 из 10» (EuroJackpot) – 1:95 344 200
«5 из 69 + 1 из 26» (Powerball, США) — 1: 292 201 338

Пример расчет. Шанс угадать 4 из 20 дважды (в двух полях) составляет 1 к 23 474 025

Хорошей иллюстрацией сложности игры с двумя лототронами служит лотерея «Гослото «4 из 20». Вероятность угадать 4 числа из 20 в одном поле вполне щадящая, шанс этого — 1 из 4 845. Но, когда угадать надо выиграть оба поля… то вероятность рассчитывается их перемножением. То есть, в данном случае 4 845 умножаем на 4 845, что дает 23 474 025. Так что, простота этой лотереи обманчива, выиграть в ней главный приз сложнее, чем в «6 из 45» или «6 из 49»

Расчет вероятности (развернутые ставки)

В данном случае считается вероятность выигрыша при использовании развернутых ставок. Для примера – если в лотерее 6 из 45, отметить 8 чисел то вероятность выиграть главный приз (6 из 45) составит 1 шанс из 290 895. Пользоваться ли развернутыми ставками – решать вам. С учетом того, что стоимость их получается очень высокая (в данном случае 8 отмеченных чисел это 28 вариантов) стоит знать как это увеличивает шансы на выигрыш. Тем более, что сделать это теперь совсем просто!

Расчет вероятности выигрыша (6 из 45) на примере развернутой ставки (отмечено 8 чисел)

И другие возможности

При помощи нашего виджета можно просчитать вероятность выигрыша и в бинго-лотереях, например, в «Русское лото». Главное, что надо учитывать, это количество ходов, отведенных на наступление выигрыша. Чтобы было понятнее: долгое время в лотерее «Русское лото» джекпот можно было выиграть в том случае если 15 чисел (в одном поле ) закрывались за 15 ходов . Вероятность такого события совершенно фантастическая, 1 шанс из 45 795 673 964 460 800 (можете проверить и получить это значение самостоятельно). Именно поэтому, кстати, много лет в лотерее «Русское лото» никто не мог сорвать джекпот, и его распределяли принудительно.

20.03.2016 правила лотереи «Русское лото» были изменены. Джекпот теперь можно выиграть, если 15 чисел (из 30) закрывались за 15 ходов . Получается аналог развернутой ставки — ведь 15 чисел угадываются из 30 имеющихся! А это уже совсем другая вероятность:

Шанс выиграть джекпот (по новым правилам) в лотерее «Русское лото»

И в заключение приведем вероятность выигрыша в лотереях, использующих бонусный шар из основного лототрона (наш виджет такие значения не считает). Из самых известных

Спортлото «6 из 49» (Гослото, Россия), La Primitiva «6 из 49» (Испания)
Категория «5 + бонусный шар»: вероятность 1:2 330 636

SuperEnalotto «6 из 90» (Италия)
Категория «5 + бонусный шар»: вероятность 1:103 769 105

Oz Lotto «7 из 45» (Австралия)
Категория «6 + бонусный шар»: вероятность 1:3 241 401
«5 + 1» — вероятность 1:29 602
«3 +1» — вероятность 1:87

Lotto «6 из 59» (Великобритания)
Категория «5 + 1 бонусный шар»: вероятность 1:7 509 579

ТЕМА 1 . Классическая формула вычисления вероятности.

Основные определения и формулы:

Эксперимент, исход которого невозможно предсказать, называют случайным экспериментом (СЭ).

Событие, которое в данном СЭ может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием .

Элементарными исходами называют события, удовлетворяющие требованиям:

1.при всякой реализации СЭ происходит один и только один элементарный исход;

2.всякое событие есть некоторая комбинация, некоторый набор элементарных исходов.

Множество всех возможных элементарных исходов полностью описывает СЭ. Такое множество принято называть пространством элементарных исходов (ПЭИ). Выбор ПЭИ для описания данного СЭ неоднозначен и зависит от решаемой задачи.

Р(А) = n (A ) / n ,

где n – общее число равновозможных исходов,

n (A ) – число исходов, составляющих событие А, как говорят еще, благоприятствующих событию А.

Слова “наудачу”, “наугад”, “случайным образом” как раз и гарантируют равновозможность элементарных исходов.

Решение типовых примеров

Пример 1. Из урны, содержащей 5 красных, 3 черных и 2 белых шара, наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятности событий:

А – “все извлеченные шары красные”;

В – “ все извлеченные шары – одного цвета”;

С – “среди извлеченных ровно 2 черных”.

Решение:

Элементарным исходом данного СЭ является тройка (неупорядоченная!) шаров. Поэтому, общее число исходов есть число сочетаний: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Событие А состоит только из тех троек, которые извлекались из пяти красных шаров, т.е. n (A )== 10.

Событию В кроме 10 красных троек благоприятствуют еще и черные тройки, число которых равно= 1. Поэтому: n (B )=10+1=11.

Событию С благоприятствуют те тройки шаров, которые содержат 2 черных и один не черный. Каждый способ выбора двух черных шаров может комбинироваться с выбором одного не черного (из семи). Поэтому: n (C ) = = 3 * 7 = 21.

Итак: Р(А) = 10/120; Р(В) = 11/120; Р(С) = 21/120.

Пример 2. В условиях предыдущей задачи будем считать, что шары каждого цвета имеют свою нумерацию, начиная с 1. Найти вероятности событий:

D – “максимальный извлеченный номер равен 4”;

Е – “ максимальный извлеченный номер равен 3”.

Решение:

Для вычисления n (D ) можно считать, что в урне есть один шар с номером 4, один шар с большим номером и 8 шаров (3к+3ч+2б) с меньшими номерами. Событию D благоприятствуют те тройки шаров, которые обязательно содержат шар с номером 4 и 2 шара с меньшими номерами. Поэтому: n (D ) =

P (D ) = 28/120.

Для вычисления n (Е) считаем: в урне два шара с номером 3, два с большими номерами и шесть шаров с меньшими номерами (2к+2ч+2б). Событие Е состоит из троек двух типов:

1.один шар с номером 3 и два с меньшими номерами;

2.два шара с номером 3 и один с меньшим номером.

Поэтому: n (E )=

Р(Е) = 36/120.

Пример 3. Каждая из М различных частиц бросается наудачу в одну из N ячеек. Найти вероятности событий:

А – все частицы попали во вторую ячейку;

В – все частицы попали в одну ячейку;

С – каждая ячейка содержит не более одной частицы (M £ N );

D – все ячейки заняты (M =N +1);

Е – вторая ячейка содержит ровно к частиц.

Решение:

Для каждой частицы имеется N способов попасть в ту или иную ячейку. По основному принципу комбинаторики для М частиц имеем N *N *N *…*N (М-раз). Итак, общее число исходов в данном СЭ n = N M .

Для каждой частицы имеем одну возможность попасть во вторую ячейку, поэтому n (A ) = 1*1*…*1= 1 М = 1, и Р(А) = 1/ N M .

Попасть в одну ячейку (всем частицам) означает попасть всем в первую, или всем во вторую, или и т.д. всем в N -ю. Но каждый из этих N вариантов может осуществиться одним способом. Поэтому n (B )=1+1+…+1(N -раз)=N и Р(В)=N /N M .

Событие С означает, что у каждой частицы число способов размещения на единицу меньше, чем у предыдущей частицы, а первая может попасть в любую из N ячеек. Поэтому:

n (C ) = N *(N -1)*…*(N +M -1) и Р(С) =

В частном случае при M =N : Р(С)=

Событие D означает, что одна из ячеек содержит две частицы, а каждая из (N -1) оставшихся ячеек содержит по одной частице. Чтобы найти n (D ) рассуждаем так: выберем ячейку в которой будет две частицы, это можно сделать =N способами; затем выберем две частицы для этой ячейки, для этого существует способов. После этого оставшиеся (N -1) частиц распределим по одной в оставшиеся (N -1) ячеек, для этого имеется (N -1)! способов.

Итак, n (D ) =

.

Число n (E ) можно подсчитать так: к частиц для второй ячейки можно способами, оставшиеся (М – К) частиц распределяются произвольным образом по (N -1) ячейке (N -1) М-К способами. Поэтому:

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной ; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной . Например, часто вычисляют вероятность события $B$ при дополнительном условии, что произошло событие $А$.

Условной вероятностью $P_A(B)=P(B|A)$ (два обозначения) называют вероятность события $В$, вычисленную в предположении, что событие $А$ уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

$$P(AB)=P(B)\cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A).$$

В частности, отсюда получаем формулы для условной вероятности:

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}, \quad P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}.$$

Примеры решений задач на условную вероятность

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А , если событие В произошло, будет
.
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
.

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение . После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность .

Этот же результат можно получить по формуле
.

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
.

Найдем вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором - белый. Общее число исходов - совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию благоприятствуют исходов. Следовательно, .

Искомая условная вероятность

Результаты совпали.

Пример. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Решение . Пусть А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В - маршрута №2.

Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): . Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.

Так как все эти события совместны, то:

;

;

отсюда искомая вероятность

Пример. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Решение . Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты окажутся одной определенной масти (например «пики»). Пусть А - появление первой карты такой масти, В - появление второй карты той же масти. Событие В зависит от события А , т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А . Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме.

Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.

От размышлений о вечном до теории вероятностей

Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.

Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.

Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.

Что такое случайность

Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.

Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.

Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…

Вероятность случайного события

Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.

Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).

В теории вероятностей отличают:

• достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
• невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
• случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).

Отношения между событиями

Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.

По отношению друг к другу события могут быть:

• Равновозможными.
• Совместимыми.
• Несовместимыми.
• Противоположными (взаимоисключающими).
• Зависимыми.

Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .

Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.

Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.

Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.

Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.

Отношения между событиями. Примеры

На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.

Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.

Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.

Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.

Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.

Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:

• Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
• Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
• Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
• Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
• Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
• Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
• Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).

Формула вероятности события

Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.

С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».

Итак, формула вероятности события:

Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Расчет вероятности события. Пример

Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.

На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:

• A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
• B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
• C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.

Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.

Несовместные события

Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.

Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.

Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.

В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий

Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.

Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.

Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятность произведения несовместных событий

Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна

То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.

Совместные события

События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.

Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.

Вероятность суммы совместных событий. Пример

Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):

Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".

Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.

Геометрия вероятности для наглядности

Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.

Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.

Зависимые события

Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.

Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.

Пример расчета вероятности зависимых событий

Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.

На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:

1. Бубновая.
2. Другой масти.

Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:

Р A (В) =8/35=0,23

Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:

Р A (В) =9/35=0,26.

Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.

Умножение зависимых событий

Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:

Р(А) = 9/36=1/4

Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.

Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):

Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)

Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:

27/36*9/35=0,19, или 19%

Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.

Полная вероятность события

Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:

Взгляд в будущее

Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.

Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.